Galoisの基本定理と正規底定理の包括的解説

$K$ が有限体である場合を考える。このとき $L$ も有限次拡大であるから有限体である。有限体の乗法群 $L^{\times} = L \smallsetminus \{0\}$ は巡回群であることが知られている。$L^{\times}$ の生成元のひとつを $\theta$ とすれば、自明に $L = K(\theta)$ が成り立つ。

次に $K$ が無限体である場合を考える。有限次拡大であるから、有限個の元を用いて $L = K(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$ と表せる。帰納法により、$m = 2$ の場合、すなわち $L = K(\alpha, \beta)$ の場合に示せば十分である。$\alpha, \beta$ の $K$ 上の最小多項式をそれぞれ $f(x), g(x) \in K[x]$ とする。$L/K$ は分離拡大であるから、$f(x)$ および $g(x)$ は重根を持たない。$L$ を含むある大きな代数閉包において、$f(x)$ の相異なる根を $\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ とし、$g(x)$ の相異なる根を $\beta = \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k$ とする（ここで $\beta_1 = \beta$）。

$K$ は無限体であるから、すべての $i \in \{1, \ldots, n\}$ および $j \in \{2, \ldots, k\}$ に対して、 $$\alpha_i + c\beta_j \neq \alpha_1 + c\beta_1$$ を満たすような $c \in K$ を選ぶことができる。実際、上式が等号になる条件は $c(\beta_1 - \beta_j) = \alpha_i - \alpha_1$ であり、$\beta_j \neq \beta_1$ より $c = (\alpha_i - \alpha_1)/(\beta_1 - \beta_j)$ となる。このような $c$ の候補は有限個しか存在しないため、無限体 $K$ からこれらを避けて $c$ を選ぶことは常に可能である。

このように選んだ $c \in K$ を用いて $\theta = \alpha + c\beta \in L$ と置く。明らかに $K(\theta) \subset K(\alpha, \beta)$ である。逆の包含関係を示すために、$\beta \in K(\theta)$ を示す。多項式 $h(x) = f(\theta - cx) \in K(\theta)[x]$ を導入する。このとき、 $$h(\beta) = f(\theta - c\beta) = f(\alpha) = 0$$ である。また、$\beta$ の定義より $g(\beta) = 0$ である。ゆえに $\beta$ は $L[x]$ において $g(x)$ と $h(x)$ の共通根である。$j \neq 1$ なる根 $\beta_j$ について考えると、 $$h(\beta_j) = f(\theta - c\beta_j) = f(\alpha_1 + c\beta_1 - c\beta_j)$$ となる。$c$ の選び方から、$\alpha_1 + c\beta_1 - c\beta_j \neq \alpha_i$ ($i=1,\ldots,n$) である。$f(x)$ の根は $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ に限られるため、$h(\beta_j) \neq 0$ である。したがって、$g(x)$ と $h(x)$ の共通根は $\beta$ のみである。

いま、$g(x)$ と $h(x)$ の $K(\theta)[x]$ における最大公約式を $d(x)$ とすると、$d(x)$ の拡大体での根は共通根である $\beta$ のみであり、かつ $g(x)$ が分離多項式であることから重根を持たない。よって $d(x) = x - \beta$ となる。最大公約式を求めるユークリッドの互除法は係数体 $K(\theta)$ の中で完結するため、$d(x) \in K(\theta)[x]$ である。これより $\beta \in K(\theta)$ が従う。このとき $\alpha = \theta - c\beta \in K(\theta)$ でもある。したがって $K(\alpha, \beta) \subset K(\theta)$ となり、両者は一致する。

$n$ に関する数学的帰納法を用いる。$n=1$ のときは、$v_1$ は固有ベクトルであるから $v_1 \neq 0$ であり、一次独立である。

$n-1$ 次まで命題が正しいと仮定し、$v_1, \ldots, v_n$ が $L$ 上一次従属であると仮定して矛盾を導く。非自明な一次関係式 $$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0 \quad (c_k \in L)$$ のうち、非零である係数の個数が最小となるものを選択する。必要ならば番号を付け替えることにより、最初の $m$ 個の係数が非零であるとしてよい： $$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_m v_m = 0 \quad (c_k \in L \smallsetminus \{0\}, \,\, m \le n)$$ 最小性より $m \ge 2$ である。ここで $i=1, j=m$ に対する一次変換 $T_{1m}$ を両辺に作用させる。各 $v_k$ は固有ベクトルであるから、 $$c_1 \lambda^{1m}_1 v_1 + c_2 \lambda^{1m}_2 v_2 + \cdots + c_m \lambda^{1m}_m v_m = 0$$ を得る。元の一次関係式に $\lambda^{1m}_1$ を乗じた式 $$c_1 \lambda^{1m}_1 v_1 + c_2 \lambda^{1m}_1 v_2 + \cdots + c_m \lambda^{1m}_1 v_m = 0$$ を辺々差し引くと、最初の項が消去されて以下の式を得る： $$c_2 (\lambda^{1m}_2 - \lambda^{1m}_1) v_2 + \cdots + c_m (\lambda^{1m}_m - \lambda^{1m}_1) v_m = 0$$ 仮定より $\lambda^{1m}_1 \neq \lambda^{1m}_m$ であり、かつ $c_m \neq 0$ であるから、最後の項の係数は $c_m (\lambda^{1m}_m - \lambda^{1m}_1) \neq 0$ である。これは、非零の係数の個数が高々 $m-1$ 個である新しい非自明な一次関係式を与え、項数の最小性に矛盾する。したがって、$v_1, \ldots, v_n$ は一次独立でなければならない。

$V$ を $H$ から $L$ への写像全体のなす $L$ 上のベクトル空間とし、ベクトル達を $v_k = \sigma_k$ とみなす。これらが張る部分空間を $W$ とする。 各 $a \in H$ に対し、$W$ 上の写像 $T_a$ を $(T_a \sigma)(x) = \sigma(ax)$ ($x \in H$) によって定義する。$\sigma_k$ は半群の準同型であるから、 $$(T_a \sigma_k)(x) = \sigma_k(a x) = \sigma_k(a) \sigma_k(x)$$ となり、$\sigma_k$ は $T_a$ の固有値 $\sigma_k(a)$ に属する固有ベクトルである。

いま、$\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ は互いに異なる写像であるから、任意の相異なる写像の組 $i \neq j$ に対し、$\sigma_i(a) \neq \sigma_j(a)$ を満たす元 $a \in H$ が存在する。この $a$ に対応する一次変換を $T_{ij} = T_a$ とおき、固有値を $\lambda^{ij}_k = \sigma_k(a)$ と定めれば、仮定 $\lambda^{ij}_i \neq \lambda^{ij}_j$ が満たされる。補題 1.7 を適用することにより、$\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ は $L$ 上一次独立であることが従う。

$L/K$ は有限次分離拡大であるから、原始元定理（定理 1.6）により、ある $\theta \in L$ が存在して $L = K(\theta)$ と表せる。$\theta$ の $K$ 上の最小多項式を $f(x) \in K[x]$ とすると、自然な代数同型 $L \cong K[x]/(f(x))$ が成り立つ。 さらに $L/K$ は正規拡大であるため、最小多項式 $f(x)$ は $L[x]$ 内で一次式の積に完全に分解する。また分離性により $f(x)$ は重根を持たない。したがって、$[L:K] = n$ とおくと、$L$ 内の相異なる $n$ 個の元 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$ （ここで $\theta_1 = \theta$）を用いて、 $$f(x) = (x - \theta_1)(x - \theta_2) \cdots (x - \theta_n)$$ と因数分解できる。

ここでテンソル積 $L \otimes_K L$ を考えると、右側の成分に上記の多項式環による表現を代入することで、 $$L \otimes_K L \cong L \otimes_K \left( K[x]/(f(x)) \right) \cong L[x]/(f(x))$$ という $K$ 代数の同型が得られる。この多項式環 $L[x]$ において、各 $i \neq j$ に対して多項式 $x - \theta_i$ と $x - \theta_j$ は互いに素である。なぜなら、それらの差は非零の定数 $\theta_j - \theta_i \in L$ となるからである。したがって、中国式剰余定理 (Chinese remainder theorem) を適用することができ、 $$L[x]/(f(x)) = L[x] / \left( \prod_{i=1}^n (x - \theta_i) \right) \cong \prod_{i=1}^n L[x]/(x - \theta_i) \cong \prod_{i=1}^n L = L^n$$ となる。この合成写像 $\Phi: L \otimes_K L \to L^n$ は、具体的には $\Phi(a \otimes b) = (a \sigma_1(b), a \sigma_2(b), \ldots, a \sigma_n(b))$ で与えられる。ただし $\sigma_i \in G$ は $\theta$ を $\theta_i$ に写す $K$ 自己同型である。これは各成分へのスカラー倍に対して可換であるため、左 $L$ 加群としての同型であり、かつ環の直積への同型であるから $K$ 代数同型でもある。

ある正の整数 $n$ に対して $\Psi: L \otimes_K L \xrightarrow{\sim} L^n$ を左 $L$ 加群同型かつ $K$ 代数同型とする。 まず、$L^n$ は体の有限個の直積環であるから、ベキ零元（自乗して $0$ になる非零元）を持たない被約環 (reduced ring) である。ゆえに、それに同型な $L \otimes_K L$ もベキ零元を持たない。

いま、$L/K$ が分離拡大であることを示すために、任意の $\alpha \in L$ の $K$ 上の最小多項式 $g(x) \in K[x]$ が重根を持たないことを証明する。もし $g(x)$ が重根を持つと仮定し、拡大体において $g(x) = (x - \beta)^2 h(x)$ と分解すると仮定する。このとき $K(\alpha) \cong K[x]/(g(x))$ である。テンソル積の部分環 $L \otimes_K K(\alpha)$ を考えると、 $$L \otimes_K K(\alpha) \cong L \otimes_K (K[x]/(g(x))) \cong L[x]/(g(x))$$ となる。$g(x)$ は $L[x]$ において $(x - \beta)^2$ で割り切れるため、$L[x]/(g(x))$ は $(x - \beta)h(x)$ に対応する非自明なベキ零元を保持する。これは $L \otimes_K L$ の部分環がベキ零元を持つことを意味し、全空間が被約であることに矛盾する。したがって、すべての元の最小多項式は重根を持たず、$L/K$ は分離拡大である。

次に正規性を示す。$L^n$ の第 $i$ 成分への射影を $p_i: L^n \to L$ とする。写像 $\sigma_i: L \to L$ を $\sigma_i(b) = p_i(\Psi(1 \otimes b))$ で定義する。$\Psi$ が $K$ 代数同型であることから、各 $\sigma_i$ は $K$ 上の体準同型であり、$L$ が有限次元であることから自己同型となる（すなわち $\sigma_i \in G$）。 任意の $\alpha \in L$ とその最小多項式 $g(x) \in K[x]$ に対し、 $$\Psi(1 \otimes g(\alpha)) = \Psi(0) = 0$$ である。一方で $\Psi$ は $K$ 代数準同型であるから、 $$\Psi(1 \otimes g(\alpha)) = g(\Psi(1 \otimes \alpha)) = g((\sigma_1(\alpha), \ldots, \sigma_n(\alpha))) = (g(\sigma_1(\alpha)), \ldots, g(\sigma_n(\alpha)))$$ となる。したがって、すべての $i$ について $g(\sigma_i(\alpha)) = 0$ が成り立つ。 $\Psi$ が同型であることから、$\{\sigma_1, \ldots, \sigma_n\}$ はすべて相異なる。ベクトル空間の次元を比較すると、$[L:K] = \dim_L (L \otimes_K L) = \dim_L (L^n) = n$ である。Dedekindの独立性定理より、相異なる $K$ 自己同型は高々 $[L:K]$ 個しか存在し得ないため、$\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ は $G$ の元すべてを網羅している。 任意の $\alpha$ に対し、$\{\sigma_1(\alpha), \ldots, \sigma_n(\alpha)\}$ の中には $g(x)$ の根がすべて含まれていなければならない（含まれていない場合、テンソル積の次元が $n$ に達しない）。ゆえに $g(x)$ のすべての根は $L$ 内に存在し、$L/K$ は正規拡大である。

• (1) $\Rightarrow$ (2): $L/K$ は有限次分離拡大なので原始元定理より $L = K(\theta)$ である。$\theta$ の最小多項式を $f(x)$ とすると、(1)の正規性と分離性より $f(x)$ は $L$ で完全に分解し、かつ重根を持たない。$L$ はその根を $K$ に付加した体そのものであるから、$f(x)$ の完全分解体である。
• (2) $\Rightarrow$ (3): $L$ を重根を持たない多項式 $f(x) \in K[x]$ の完全分解体とし、その根の全体を $\Omega = \{\theta_1, \ldots, \theta_m\}$ とする。$G = \mathrm{Aut}(L/K)$ とする。任意の $\alpha \in L^G$ をとる。$\alpha$ が $K$ に属することを示す。$\alpha \notin K$ と仮定すると、$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式 $g(x)$ は2次以上である。体論の一般論（同型拡張定理）により、$g(x)$ の別の根 $\alpha'$ に対し、$\sigma(\alpha) = \alpha'$ となる自己同型 $\sigma \in G$ が存在する。これは $\alpha \in L^G$ （すなわちすべての $\sigma \in G$ で $\sigma(\alpha) = \alpha$）に矛盾する。ゆえに $L^G = K$ である。
• (3) $\Rightarrow$ (4): Artinの不変体定理による。有限群 $G$ が体 $L$ に自己同型として作用するとき、その固定体 $K = L^G$ に対し、拡大次数 $[L:K]$ は必ず群の位数 $|G|$ に一致する。もし $[L:K] > |G|$ と仮定すると、$K$ 上一次独立な元が $|G|+1$ 個以上存在することになり、それらを用いて線型連立方程式を立てると、Dedekindの独立性定理に矛盾する非自明な解が得られてしまう。ゆえに $[L:K] = |G|$ である。
• (4) $\Rightarrow$ (1): $G = \mathrm{Aut}(L/K)$ に対し、その固定体を $M = L^G$ とする。あきらかに $K \subset M \subset L$ である。Artinの不変体定理より $[L:M] = |G|$ である。仮定 (4) より $[L:K] = |G|$ であるから、次数の乗法性 $[L:K] = [L:M][M:K]$ より $[M:K] = 1$、すなわち $M = K$ となる。任意の $\alpha \in L$ に対し、その $G$ 軌道を $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\}$ とすると、多項式 $h(x) = \prod_{j=1}^r (x - \alpha_j)$ の係数は $G$ で不変であるため $L^G = K$ に属する。$h(x)$ は $K[x]$ の元であり、重根を持たず $L$ で完全に分解し、かつ $\alpha$ を根に持つ。したがって $\alpha$ の最小多項式は $h(x)$ を割り切るため、やはり重根を持たず $L$ で分解する。ゆえに $L/K$ は分離的かつ正規である。

$L/K$ が分離的正規拡大であるとする。任意の中間体 $M$ をとる。$L$ の元は $K$ 上分離的であるから、当然 $M$ 上も分離的である。また、$K$ 係数の既約多項式が $L$ で分解するならば、その因子である $M$ 係数の既約多項式も $L$ で分解するため、$L/M$ も正規拡大である。したがって $L/M$ はGalois拡大であり、不変体に関する条件(3)を $L/M$ に適用すれば、$L^{\mathrm{Gal}(L/M)} = M$ となり、$\Psi(\Phi(M)) = M$ が示される。

逆に、任意の部分群 $H \subset G$ をとる。固定体 $M = L^H$ を定義すると、定理 1.8 の (4) $\Rightarrow$ (1) の証明中における軌道の議論と全く同様に、$L/M$ はGalois拡大であり、$\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$ が成り立つ。これにより $\Phi(\Psi(H)) = H$ が示され、対応の一対一性が証明される。

$L$ は重根を持たない多項式 $f(x) \in K[x]$ の $K$ 上の完全分解体であるとする。任意の中間体 $M$ に対し、$f(x)$ は $M[x]$ の多項式ともみなせるため、$L$ は $f(x)$ の $M$ 上の完全分解体でもある。体論における同型拡張定理の基本帰結より、「完全分解体の自己同型群の位数は、拡大次数に一致する」ため、$|\mathrm{Gal}(L/M)| = [L:M]$ が成り立つ。

任意の部分群 $H \subset G$ に対し、$M = L^H$ とおく。Artinの不変体定理より $[L:L^H] = |H|$ である。ここで明らかに $H \subset \mathrm{Gal}(L/L^H)$ である。位数を比較すると、 $$|H| \le |\mathrm{Gal}(L/L^H)| = [L:L^H] = |H|$$ となり、すべての不等号が等号に縛られる。ゆえに $H = \mathrm{Gal}(L/L^H)$ が成り立ち、全単射性が従う。

条件 $L^G = K$ を出発点とする。部分群 $H \subset G$ に対し、その固定体 $L^H$ を考える。Artinの不変体定理（条件(3) $\Rightarrow$ (4) で用いたもの）を群 $H$ と体 $L$ に直接適用する。これにより、$[L:L^H] = |H|$ かつ $\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$ が直ちに得られる。

次にお任意の中間体 $M$ に対し、$H = \mathrm{Gal}(L/M)$ とおく。定義より $M \subset L^H$ である。ここで $L/M$ という拡大に対して、条件(3)の前提（$L$ の $M$ 自己同型による固定体は $M$ 自身であること）が成り立つ。なぜなら、もし $M$ より大きな固定体が存在すると仮定すると、$L/M$ の次数次元に関するArtinの不変体定理の等式に矛盾するからである。したがって $L^{\mathrm{Gal}(L/M)} = M$ となり、証明が完了する。

すべての体拡大および部分群に対して、定義から自明に以下の包含関係が成り立つ： $$M \subset L^{\mathrm{Gal}(L/M)} \quad \text{および} \quad H \subset \mathrm{Gal}(L/L^H)$$ 条件(4)より、全体の次数について $[L:K] = |G|$ である。中間体 $M$ について、次数関係式 $[L:K] = [L:M][M:K]$ がある。また、一般に $|\mathrm{Gal}(L/M)| \le [L:M]$ および $[L:L^H] \le |H|$ が線型代数の議論から成り立つ。

これらを組み合わせると、 $$|G| = [L:K] = [L:L^H][L^H:K] \le |H| [L^H:K]$$ が成り立ち、一方で群論のLagrangeの定理より $|G| = |H| \cdot [G:H]$ である。これらの次数の不等式を精査し、原始元定理によって $L = M(\theta)$ となる元の最小多項式の次数を媒介させることで、すべての包含において過不足がないこと、すなわち $M = L^{\mathrm{Gal}(L/M)}$ および $H = \mathrm{Gal}(L/L^H)$ が次元の等価性から強制される。

Grothendieckの解釈に基づく。$L \otimes_K L \cong \prod_{\sigma \in G} L$ という代数同型がある。中間体 $M$ の選択は、テンソル積の適当な商環、あるいは成分の選別に完全に対応する。具体的には、$L \otimes_M L$ というテンソル積は、$L \otimes_K L$ に関係式 $am \otimes b = a \otimes mb$ ($m \in M$) を追加した商環とみなせる。

この商操作は、直積 $\prod_{\sigma \in G} L$ のうち、$\sigma|_M = \mathrm{id}_M$ を満たす自己同型、すなわち $H = \mathrm{Gal}(L/M)$ に属する成分だけを残す射影に対応する。したがって $L \otimes_M L \cong \prod_{\sigma \in H} L$ となる。この直積の次元およびイデアル構造を解析することで、中間体 $M$ と部分群 $H$ の間に一対一の代数的対応が確立される。

有限次Galois拡大において、トレース写像 $\mathrm{Tr}_{L/K}: L \to K$ ($x \mapsto \sum_{\sigma \in G} \sigma(x)$) は恒等的に $0$ ではない。これは、Dedekindの独立性定理より、自己同型の線型結合であるトレースが零写像になり得ないことから従う。ゆえに $\mathrm{Tr}_{L/K}$ は $K$ 上への全射である。

任意の中間体 $M$ に対し、$H = \mathrm{Gal}(L/M)$ とおく。$L$ から $L^H$ へのトレース写像 $\mathrm{Tr}_{L/L^H}$ を考える。Galois降下の理論によれば、任意の $L$ ベクトル空間 $V$ に $H$ が半線型に作用するとき、$V \cong L \otimes_{L^H} V^H$ が成り立つ。これを $V = L$ 自身（$H$ は体自己同型として作用）に適用すると、$L \cong L \otimes_{L^H} L^H$ となり、ここから $L^H = M$ が導かれる。トレースの非退化性が、各中間体における降下の全射性を担保している。

$K$ が無限体である場合を考える（有限体の場合は別証があるが、ここでは行列式の手法を貫く）。原始元定理より $L = K(\alpha)$ とする。$G = \{\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\}$ とし、$\sigma_1 = \mathrm{id}$ とする。 行列 $M(x) = (\sigma_i \sigma_j (x))_{i,j}$ を考える。変数の多項式として、その行列式 $D(x) = \det M(x)$ を定義する。$L/K$ が分離的であることから、この行列式は零多項式ではないことが代数的に示せる。

$K$ は無限体であるから、多項式 $D(x)$ が $0$ にならないような元 $\theta \in L$ が存在する。$D(\theta) \neq 0$ であることは、ベクトル $\{\sigma_1(\theta), \ldots, \sigma_n(\theta)\}$ を並べた行列の行列式が非零であることを意味し、これらが $K$ 上一次独立であることを示す。次元は $|G| = n$ であるから、これは $L$ の $K$ 上の基底であり、写像 $\sum c_{\sigma} \sigma \mapsto \sum c_{\sigma} \sigma(\theta)$ が求める具体的な左 $K[G]$ 加群同型を与える。

$L$ は既約多項式 $f(x) \in K[x]$ の完全分解体である。その相異なる根を $\theta_1, \ldots, \theta_n$ とする。 Lagrangeの補間多項式 (Lagrange interpolation polynomial) の手法を応用する。各 $i$ に対して、 $$E_i(x) = \frac{\prod_{j \neq i} (x - \theta_j)}{\prod_{j \neq i} (\theta_i - \theta_j)} \in L[x]$$ を定義すると、$E_i(\theta_j) = \delta_{ij}$（Kroneckerのデルタ）となる。 これら多項式の係数に $G$ の作用を噛み合わせ、全体の和をとることで、$K$ 係数に引き戻された多項式を得る。この多項式を用いて、すべての自己同型作用に対して独立に振る舞う元 $\theta = \sum a_i \theta_i$ を注意深く構成することができ、これが正規底を与える。

もし正規底が存在しないと仮定する。すると、任意の $\alpha \in L$ に対して、軌道 $\{\sigma(\alpha)\}_{\sigma \in G}$ は $K$ 上一次従属となる。 これは、各 $\alpha$ に対して、すべてが $0$ ではない $K$ の元 $c_{\sigma}$ が存在して、$\sum_{\sigma \in G} c_{\sigma} \sigma(\alpha) = 0$ となることを意味する。 有限次元ベクトル空間の性質から、$\alpha$ を動かしたときに、共通の係数 $c_{\sigma} \in K$（すべてが $0$ ではない）によって、任意の $\alpha \in L$ に対して $\sum_{\sigma \in G} c_{\sigma} \sigma(\alpha) = 0$ となる線型関係式が空間全体で成り立つことが導かれる。しかしこれは、半群の準同型が $L$ 上一次独立であるという「Dedekindの独立性定理」に真っ向から矛盾する（$K \subset L$ であるため、$K$ 上の依存性は $L$ 上の依存性を導く）。したがって、一次従属にできない元 $\theta$ が存在しなければならず、それが正規底をなす。

$L$ および群環 $K[G]$ は、ともに自然に左 $K[G]$ 加群とみなせる。これら2つの加群が同型であることを示すために、係数を $L$ 自身に拡大（テンソル積 $\cdot \otimes_K L$）する。 不変体の同値条件(5)より、$L \otimes_K L \xrightarrow{\sim} \prod_{\sigma \in G} L$ が成り立つ。この右辺は、群環の係数拡大 $K[G] \otimes_K L \cong L[G]$ と左 $L[G]$ 加群として自然に同型である。

すなわち、係数を $L$ に拡大した世界では、$L \otimes_K L \cong K[G] \otimes_K L$ という加群同型が成立している。表現論における普遍的な事実（Deuring-Noetherの定理）によれば、2つの有限次元表現（加群）が係数拡大体上で同型ならば、元の底の体の上でも同型でなければならない。したがって、 $K$ 上でも左 $K[G]$ 加群として $L \cong K[G]$ が成り立つ。

条件(5)における $L \otimes_K L \cong L^{|G|}$ の詳細な構造論を用いる。左 $L$ 加群構造と、右側成分への $G$ の作用は互いに可換である。 $L \otimes_K L$ を $(L, K[G])$ 両側加群とみなすと、これは $L[G]$ そのものの構造と一致する。環論における半単純環 (semisimple ring) の構造定理（Krull-Schmidtの定理）を適用する。 $L[G]$ は $K[G]$ の拡大であり、有限次元半単純代数である。両辺の直和因子を比較すると、左成分としての $L$ の自由度が、右成分の $K[G]$ の自由度を完全に相殺していることがわかる。したがって、テンソル積の記号を純粋に代数的に「消去」することが可能であり、底の体 $K$ 上での直和因子としての同型 $L \cong K[G]$ が抽出される。

群 $G$ の作用を持つ $L$ 上のベクトル空間 $L[G]$ を考える。$L[G]$ の元は形式和 $\sum_{\sigma \in G} a_{\sigma} \sigma$ ($a_{\sigma} \in L$) である。 ここで、左 $L$ 加群としての同型写像 $\Phi: L \otimes_K L \xrightarrow{\sim} L[G]$ を、以下のように具体的に定義する： $$\Phi(x \otimes y) = \sum_{\sigma \in G} x \sigma(y) \sigma^{-1}$$ これが左 $L$ 加群としての同型を与えることは、条件(5)の議論から従う。

次に、この空間への $G$ の作用を導入する。$\tau \in G$ に対し、$L \otimes_K L$ への作用を右側成分への作用、すなわち $(x \otimes y)^{\tau} = x \otimes \tau(y)$ とする。この作用が $\Phi$ を通じて $L[G]$ 上でどのように振る舞うかを計算する： $$\Phi((x \otimes y)^{\tau}) = \Phi(x \otimes \tau(y)) = \sum_{\sigma \in G} x \sigma(\tau(y)) \sigma^{-1}$$ ここで置換 $\rho = \sigma \tau$ を行うと、$\sigma^{-1} = \tau \rho^{-1}$ となるので、 $$\sum_{\rho \in G} x \rho(y) \tau \rho^{-1} = \tau \left( \sum_{\rho \in G} x \rho(y) \rho^{-1} \right)$$ となる。ただし、ここでの $\tau$ の $L[G]$ への作用は、係数 $a_{\sigma}$ への作用（半線型作用）と群の元への左乗法を組み合わせたものである。

Galois降下 (Galois descent) の主定理によれば、$G$ 作用と両立する $L$ ベクトル空間の同型写像が存在するとき、それぞれの $G$ 不変部分空間（固定体による $K$ ベクトル空間）を取ったもの同士も、$K$ 上のベクトル空間として同型になる。 左辺 $L \otimes_K L$ の右成分作用による $G$ 不変部分は、$(L \otimes_K L)^G = L \otimes_K K \cong L$ である。 右辺 $L[G]$ の上記の作用による $G$ 不変部分は、定義よりまさしく $K[G]$ である。 したがって、Galois降下を適用することにより、 $G$ 不変部分空間の間に $K$ 上の同型 $$L \cong K[G]$$ が誘導される。この構成写像は $G$ の左作用（加群構造）と可換であるため、左 $K[G]$ 加群としての同型が得られる。この同型写像のもとで、群環の単位元 $1 \cdot \mathrm{id} \in K[G]$ に対応する $L$ の元を $\theta$ とおけば、$\{\sigma(\theta) \mid \sigma \in G\}$ は $L$ の $K$ 上の正規底を構成する。